一、什么是線性回歸

1.線性回歸簡述

線性回歸，是一種趨勢，通過這個趨勢，我們能預測所需要得到的大致目標值。線性關系在二維中是直線關系，三維中是平面關系。

我們可以使用如下模型來表示線性回歸：y = wx+b（w是權重，x是特征，b是偏置項）

當有多個特征時，線性關系模型如下圖所示：

2.數組和矩陣

數組

數組可以是多維的，各個維度的數組表示如下：

0維：5

1維：[1,2,5,5,4,8]

2維：[[1,4,5],[1,4,7]]

3維：[[[1,4,5],[1,4,7]],[[1,4,5],[1,4,7]]]

數組運算有加法，乘法。具體計算可以在python中嘗試，數組是ndarray類型。3.

矩陣

矩陣特點：必須是二維，矩陣的運算滿足了特定的需求。我們可以僅僅通過1步的矩陣乘法，就得出w1*x1+w2*x2+w3*x3這樣模型的結果。

矩陣乘法的要求會涉及到矩陣的形狀要求：m*n的矩陣 * n*p的矩陣，結果是m*p的矩陣

也就是說，第一個矩陣的列數，必須要和第二個矩陣的行數相同。

3.線性回歸的算法

線性回歸是一種迭代的算法。我們需要建立一個函數，對于每一個特征x(i)都有一個對應的權重w(i)，兩者相乘，并最終把所有的特征權重乘積求和，就是我們的目標結果。但如何尋找到最佳的權重，從而使得模型能夠最好地擬合我們的樣本呢？

線性回歸的迭代算法的每次迭代，都會更新權重w(i)的值，使模型往靠近樣本點的地方更加靠近，而損失函數，就是我們用來求得最佳權重的函數。

損失函數定義如下：

損失意思就是預測的各個目標值，與各個原目標值的差的平方和（誤差平方和）。損失越小也就是預測值與原值越接近，效果越好。該方法也稱為最小二乘法。當損失函數達到最小值時，所對應的權重w，就是我們的目標權重。

二、權重的求解

1.正規方程

是求權重w的一種方法，適用于特征少的數據。用的比較少。

2.梯度下降

該方法通過指定學習率，并利用梯度，迭代更新權重。通常都使用這個方法。

正規方程API：sklearn.linear_model.LinearRegression()

梯度下降API：sklearn.linear_model.SGDRegressor()

兩個算法都可以通過.coef_得到回歸系數，學習率是一個超參數，也可使用網格交叉驗證進行調優。

三、線性回歸案例

1.案例概述

通過從sklearn中獲取的“波士頓房價預測”數據進行房價預測，特征有很多，比如該鎮的人均犯罪率、一氧化氮濃度、低收入人群占比等。我們對每一個特征都給出一個權重，通過算法，求得最佳的權重即可。

2.數據獲取

導入數據代碼：

from sklearn.datasets import load_boston 
lb = load_boston()

3.數據分割

x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(lb.data, lb.target, test_size=0.25)

4.數據標準化

此處的數據，需要對特征數據以及目標值數據都進行標準化，并且需要用不同的標準。

導入標準化方法:from sklearn.preprocessing import StandardScaler

x實例化方法：std_x = StandardScaler()

y實例化方法：std_y = StandardScaler()

標準化：

x_train = std_x.fit_transform(x_train)

x_test = std_x.transform(x_test)

y_train = std_y.fit_transform(y_train)

y_test = std_y.transform(y_test)

5.模型訓練

注意，訓練后得出的目標值，是標準化后的，因此需要使用StandardScaler中的inverse_transform進行轉換回原來的值。

實例化算法：lr = LinearRegressor()

將數據轉為二維：y_train = y_train.reshape(-1,1)

訓練算法：lr.fit(x_train, y_train)

預測結果：y_predict = lr.predict(x_test)

結果轉為正常結果：y_lr_predict = std.inverse_transform(y_predict)

6.回歸性能評估

通過對預測值也真實值計算均方誤差可得，API中，輸入真實目標值，以及預測目標值即可（注意：輸入的都是標準化之前的值。

API：sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)

線性回歸性能評估：mean_squared_error(y_test, y_lr_predict)

以上為使用線性回歸算法，對房價進行的預測。其他的算法，具體操作基本一致。

7.梯度下降與正規方程區別

特點：線性回歸器是最為簡單、易用的回歸模型。 從某種程度上限制了使用，盡管如此，在不知道特征之間關系的前提下，我們仍然使用線性回歸器作為大多數系統的首要選擇。

小規模數據可以使用LinearRegression(不能解決擬合問題)以及其它

大規模數據需要使用梯度下降法，SGDRegressor

四、嶺回歸Ridge

1.過擬合與欠擬合

欠擬合：一個假設在訓練數據上不能獲得更好的擬合， 但是在訓練數據外的數據集上也不能很好地擬合數據，此時認為這個假設出現了欠擬合的現象。(模型過于簡單)

解決方法：增加特征

過擬合：一個假設在訓練數據上能夠獲得比其他假設更好的擬合， 但是在訓練數據外的數據集上卻不能很好地擬合數據，此時認為這個假設出現了過擬合的現象。(模型過于復雜)

解決方法：正則化

2.正則化

L2正則化是通過減少權重的方式，對模型進行優化，以解決過擬合的問題。該方法可以使得權重的每個元素都非常接近于0，參數變小，則模型變簡單。從而達到解決過擬合問題的效果。

嶺回歸就是帶有正則化的線性回歸。

嶺回歸API:sklearn.linear_model.Ridge

正則化中，alpha（或者lambda）越大，說明對參數的懲罰越大，參數就越趨近于0。

嶺回歸優點：回歸得到的回歸系數更符合實際，更可靠。另外，能讓估計參數的波動范圍變小，變的更穩定。在存在病態數據偏多的研究中有較大的實用價值。

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