一、圖的定義

圖是一種比樹更復雜的一種數據結構，在圖結構中，結點之間的關系是任意的，任意兩個元素之間都可能相關，因此，它的應用極廣。圖中的數據元素通常被稱為頂點 ( V e r t e x ) (Vertex) (Vertex)， V V V是頂點的有窮非空集合， V R VR VR是兩個頂點之間的關系的集合(可以為空)，可以表示為圖 G = { V , { V R } } G={V,{VR}} G={V,{VR}}。

二、相關術語

2.1 無向圖

給定圖 G = { V , { E } } G={V,{E}} G={V,{E}}，若該圖中每條邊都是沒有方向的，則稱其為無向圖 ( U n d i g r a p h ) (Undigraph) (Undigraph)。對圖 G G G中頂點 v v v和頂點 w w w的關系，可用無序對 ( v , w ) (v,w) (v,w)表示，它是連接 v v v和 w w w的一條邊 ( E d g e ) (Edge) (Edge)。

2.2 有向圖

給定圖 G = { V , { A } } G={V,{A}} G={V,{A}}，若該圖中每條邊都是有方向的，則稱其為有向圖 ( D i g r a p h ) (Digraph) (Digraph)。對圖 G G G中頂點 v v v和頂點 w w w的關系，可用有序對 < v , w > <v,w> <v,w>表示，它是從 v v v到 w w w的一條弧 ( A r c ) (Arc) (Arc)，其中 v v v被稱為弧尾 ( T a i l ) (Tail) (Tail)， w w w被稱為弧頭 ( H e a d ) (Head) (Head)。

  弧尾也叫初始點 ( I n i t i a l (Initial (Initial N o d e ) Node) Node)，弧頭也叫終端點 ( T e r m i n a l (Terminal (Terminal N o d e ) Node) Node)。

2.3 完全圖

對于任一無向圖，若其頂點的總數目為 n n n，邊的總數目為 e = n ( n − 1 ) 2 e=frac {n(n-1)} {2} e=2n(n−1)?，則稱其為完全圖 ( C o m p l e t e d (Completed (Completed G r a p h ) Graph) Graph)。

2.4 有向完全圖

對于任一有向圖，若其頂點的總數目為 n n n，邊的總數目為 e = n ( n − 1 ) e=n(n-1) e=n(n−1)，則稱其為有向完全圖。

2.5 稀疏圖和稠密圖

對于具有 n n n個頂點， e e e條邊或弧的圖來說，若 e e e很小，比如 e < n log ? n e<nlog n e<nlogn，則稱其為稀疏圖 ( S p a r s e (Sparse (Sparse G r a p h ) Graph) Graph)，反之稱其為稠密圖 ( D e n s e (Dense (Dense G r a p h ) Graph) Graph)。

2.6 權和網

賦予圖中邊或弧的數值稱為權 ( W e i g h t ) (Weight) (Weight)，它可以表示從一個頂點到另一個頂點的距離；帶權的圖稱為網 ( N e t w o r k ) (Network) (Network)。

2.7 稀疏網和稠密網

帶權的稀疏圖、稠密圖稱為稀疏網、稠密網。

2.8 子圖

對于圖 G = { V , { E } } G={V,{E}} G={V,{E}}和圖 G ′ = { V ′ , { E ′ } } G"={V",{E"}} G′={{C}V′,{{C}E′}}，若 V ′ ⊆ V V"subseteq V V′⊆V且 E ′ ⊆ E E"subseteq E E′⊆E，則稱 G ′ G" G′為 G G G的子圖 ( S u b g r a p h ) (Subgraph) (Subgraph)。

2.9 鄰接點

對于無向圖 G = { V , { E } } G={V,{E}} G={V,{E}}，若 v ∈ V vin V v∈V、 w ∈ V win V w∈V且 ( v , w ) ∈ E (v,w)in E (v,w)∈E，則稱頂點 v v v和頂點 w w w互為鄰接點 ( A d j a c e n t ) (Adjacent) (Adjacent)，并稱邊 ( v , w ) (v,w) (v,w)依附 ( I n c i d e n t ) (Incident) (Incident)于頂點 v v v和頂點 w w w，或稱邊 ( v , w ) (v,w) (v,w)與頂點 v v v和頂點 w w w相關聯。

對于有向圖 G = { V , { A } } G={V,{A}} G={V,{A}}，若 v ∈ V vin V v∈V、 w ∈ V win V w∈V且 < v , w > ∈ A <v,w>in A <v,w>∈A，則稱頂點 v v v鄰接到頂點 w w w，頂點 w w w鄰接自頂點 v v v，并稱弧 < v , w > <v,w> <v,w>與頂點 v v v和頂點 w w w相關聯。

2.10 度、入度與出度

在無向圖中，頂點 v v v的度 ( D e g r e e ) (Degree) (Degree)等于與該頂點相關聯的邊的數目，記為 T D ( v ) TD(v) TD(v)。

在有向圖中，頂點 v v v的度等于該頂點的入度與出度之和，記為 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v)=ID(v)+OD(v) TD(v)=ID(v)+OD(v)，其中頂點 v v v的入度 ( I n D e g r e e ) (InDegree) (InDegree)為以該頂點為弧頭的弧的數目，記為 I D ( v ) ID(v) ID(v)，頂點 v v v的出度 ( O u t D e g r e e ) (OutDegree) (OutDegree)為以該頂點為弧尾的弧的數目，記為 O D ( v ) OD(v) OD(v)。

2.11 路徑、簡單路徑與路徑長度

路徑 ( P a t h ) (Path) (Path)是任意兩個有關聯的頂點之間的邊或弧，在圖 G = { V , { V R } } G={V,{VR}} G={V,{VR}}中，頂點 v 1 v_1 v1?到頂點 v n v_n vn?的路徑是一個頂點序列 ( v 1 , v 2 , … , v i , v j , … , v n ) (v_1,v_2,dots,v_i,v_j,dots,v_n) (v1?,v2?,…,vi?,vj?,…,vn?)，對于上述序列中的任意相鄰的頂點 v i v_i vi?和 v j v_j vj?，若圖 G G G是無向圖，則有 ( v , w ) ∈ E (v,w)in E (v,w)∈E，若圖 G G G是有向圖，則有 < v , w > ∈ A <v,w>in A <v,w>∈A。

對于給定的一條路徑，若該路徑對應的序列中的頂點不重復，則稱為該路徑為簡單路徑。

路徑上邊或弧的數目稱為路徑長度。

2.12 回路與簡單回路

若某一路徑中的第一個頂點和最后一個頂點相同，則稱該路徑為回路，也稱為環 ( C y c l e ) (Cycle) (Cycle)。

在某一回路中，若除去第一個頂點和最后一個頂點外，其余頂點均不重復，則稱為該回路為簡單回路，也稱為簡單環。

2.13 連通圖與連通分量

在無向圖中，若從頂點 v v v到頂點 w w w有路徑，則稱為 v v v到 w w w是連通的，若該圖中的任意兩個頂點間都是連通的，則稱該圖為連通圖 ( C o n n e c t e d (Connected (Connected G r a p h ) Graph) Graph)。無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量 ( C o n n e c t e d (Connected (Connected C o m p o n e n t ) Component) Component)。這里的極大就是盡可能地包含更多的頂點。

2.14 強連通圖與強連通分量

在有向圖中，若從頂點 v v v到頂點 w w w有路徑，從頂點 w w w到頂點 v v v也有路徑，則稱為 v v v和 w w w是強連通的，若該圖中的任意兩個頂點間都是強連通的，則稱該圖為強連通圖。有向圖中的極大連通子圖稱為強連通分量。

2.15 生成樹、最小生成樹與生成森林

具有 n n n個頂點的連通圖的極小連通子圖稱為生成樹，生成樹包含這一連通圖的 n n n個頂點和 n − 1 n-1 n−1條邊。這里的極小是盡可能少地包含邊。

通常把各邊帶權的連通圖稱為連通網，在連通網的所有生成樹中，對每一棵生成樹的各邊權值求和，其中權值最小的生成樹稱為該連通網的最小生成樹。

非連通圖的各連通分量的生成樹組成的森林稱為生成森林。

3. 圖的性質

3.1 性質1

若圖中有 n n n個頂點 v 1 , v 2 , … , v n v_1,v_2,dots,v_n v1?,v2?,…,vn?， e e e條邊或弧，其中頂點的度分別為 T D ( v 1 ) , T D ( v 2 ) , … , T D ( v n ) TD(v_1),TD(v_2),dots,TD(v_n) TD(v1?),TD(v2?),…,TD(vn?)，則有
e = 1 2 ∑ i = 1 n T D ( v i ) e=frac {1} {2} sum_{i=1} ^ {n} TD(v_i) e=21?i=1∑n?TD(vi?)

3.2 性質2

一棵有 n n n個頂點的生成樹有且僅有 n − 1 n-1 n−1條邊。

4. 圖的存儲結構

4.1 鄰接矩陣

用于無向圖、有向圖

在存儲含有 n n n個結點的圖 G = { V , { V R } } G={V,{VR}} G={V,{VR}}時，將圖中的所有頂點存儲在長度為 n n n的一維數組中，將圖中邊或弧的信息存儲在 n × n n imes n n×n的二維數組中，我們稱這個二維的數組為鄰接矩陣。假設圖 G G G中頂點 v v v和頂點 w w w在一維數組中的下標分別為 i i i、 j j j，則該圖對應各鄰接矩陣定義如下：

若該圖為無向圖或有向圖，則
A r c s [ j ] [ j ] = { 1 , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A 0 , 其 他 Arcs[j][j]=egin{cases} 1, & (v,w)in E或<v,w>in A 0, & 其他 end{cases} Arcs[j][j]=??????1,0,?(v,w)∈E或<v,w>∈A其他?  若該圖為無向網或有向網，則
A r c s [ j ] [ j ] = { w i j , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A ∞ , 其 他 Arcs[j][j]=egin{cases} w_{ij}, & (v,w)in E或<v,w>in A infty, & 其他 end{cases} Arcs[j][j]=??????wij?,∞,?(v,w)∈E或<v,w>∈A其他?  其中， w i j w_{ij} wij?為邊或弧對應的權值。

定義圖中的頂點：

class VertexMatrix(object):
    """
    圖的一個頂點
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.info = None

定義圖：

class GraphMatrix(object):
    """
    圖的鄰接矩陣
    """
    def __init__(self, kind):
        # 圖的類型: 無向圖, 有向圖, 無向網, 有向網
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 頂點表
        self.vertexs = []
        # 邊表, 即鄰接矩陣, 是個二維的
        self.arcs = []
        # 當前頂點數
        self.vexnum = 0
        # 當前邊(弧)數
        self.arcnum = 0

無向圖及其鄰接矩陣、有向網及其鄰接矩陣如下：
A r c s = [ 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 ] A r c s = [ ∞ 1 2 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ ∞ ∞ ∞ 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ] Arcs=egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix} Arcs=egin{bmatrix} infty & 1 & 2 & infty infty & infty & 3 & infty infty & infty & infty & 4 infty & infty & infty & infty end{bmatrix} Arcs=?????0101?1001?0001?1110??????Arcs=?????∞∞∞∞?1∞∞∞?23∞∞?∞∞4∞?????

?

鄰接矩陣的特點如下：

(1) 由于在創建鄰接矩陣時，輸入頂點的順序不同，其相應的鄰接矩陣也是不同的；

(2) 對于含有 n n n個頂點的圖，其鄰接矩陣一定是 n × n n imes n n×n的二維數組；

(3) 無向圖的鄰接矩陣具有對稱性，可采用壓縮存儲的方式存儲；

(4) 對于無向圖，若某一頂點 v v v在一維數組中的下標為 i i i，則該頂點的度為鄰接矩陣的第 i + 1 i+1 i+1行中值為1的元素的總數目；

(5) 對于有向圖，若某一頂點 v v v在一維數組中的下標為 i i i，則該頂點的出度為鄰接矩陣的第 i + 1 i+1 i+1行中值為1的元素的總數目，入度為鄰接矩陣的第 i + 1 i+1 i+1列中值為1的元素的總數目。

構造一個具有 n n n個頂點 e e e條邊的無向網的時間復雜度為 O ( n 2 + n e ) O(n^2+ne) O(n2+ne)，其中對鄰接矩陣的初始化使用了 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的時間。

4.2 鄰接表

用于無向圖、有向圖

使用鄰接表存儲圖時，將圖分為兩個部分：

第一部分為圖中每一個頂點及與該頂點相關聯的第一條邊或弧，可以這樣定義：

class VertexAdjacencyList(object):
    """
    圖的一個頂點
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 與該頂點相連的第一條邊FirstArc
        self.FirstArc = None

使用data域來存儲圖中的每一個頂點，FirstArc域來存儲與該頂點相關聯的第一條弧或邊，通常情況下指向第二部分單鏈表的第一個結點。

第二部分為用一個結點來存儲圖中的每一條邊或弧，該結點由adjacent域、info域和NextArc域組成，這些結點形成了單鏈表。這部分結點可以這樣定義：

class ArcAdjacencyList(object):
    """
    圖的一個邊(弧)
    """
    def __init__(self, adjacent):
        # 鄰接點或弧頭, 與該頂點相連的另一頂點的index
        self.adjacent = adjacent
        self.info = None
        # 與該邊(弧)依附于相同頂點的下一條邊(弧)NextArc
        self.NextArc = None

根據上面圖的鄰接表可以這樣定義：

class GraphAdjacencyList(object):
    """
    圖的鄰接表
    """
    def __init__(self, kind):
        # 圖的類型: 無向圖, 有向圖, 無向網, 有向網
        # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork,
        self.kind = kind
        # 鄰接表
        self.vertices = []
        # 當前頂點數
        self.vexnum = 0
        # 當前邊(弧)數
        self.arcnum = 0

無向圖及其鄰接表：

有向網及其鄰接表、逆鄰接表：

鄰接表的特點如下：

(1) 由于存儲邊或弧通過不同的連接順序會形成不同的單鏈表，所以圖的鄰接表不是唯一的；

(2) 對于具有 e e e條邊的無向圖，使用鄰接表存儲時需要 2 e 2e 2e個結點來存儲圖的邊，而對于具有 e e e條弧的有向圖，使用鄰接表存儲時需要 e e e個結點來存儲圖的弧；

(3) 對于具有 n n n個頂點 e e e條邊或弧的稀疏圖而言，若采用鄰接矩陣存儲，則需要 n 2 n^2 n2個存儲空間來存儲圖的邊或弧，而采用鄰接表存儲時，則至多需要 2 e 2e 2e個結點存儲圖的邊或弧，所以稀疏圖的存儲使用鄰接表會更節省空間；

(4) 對于無向圖，頂點的度等于該頂點對應的單鏈表中結點的總數目；

(5) 對于有向圖，若某一頂點在數組中的下標為 i i i，則該頂點的出度為該頂點對應的單鏈表中結點的總數目，入度為鄰接表中adjacent域內值為 i i i的結點的總數目。
在使用鄰接表存儲圖時，計算圖中的某一頂點的出度很容易，但是在計算其入度時，最壞的情況需要遍歷整個鄰接表。因此，有時為了方便計算頂點的入度，可以為該圖建立一個逆鄰接表。

在建立鄰接表或逆鄰接表時，如輸入的頂點信息為頂點的編號，則建立鄰接表或逆鄰接表的時間復雜度為 O ( n + e ) O(n+e) O(n+e)，否則，需要通過查找才能確定頂點在圖中的位置，對應的時間復雜度為 O ( n e ) O(ne) O(ne)。

4.3 十字鏈表

用于有向圖

十字鏈表通常用于有向圖，可以將它看成鄰接表和逆鄰接表的結合。同樣分為兩個部分，即頂點結點部分和弧部分，通常將頂結點存儲在數組中，弧結點存儲在單鏈表中。

頂點結點包含data域、FirstIn域和FirstOut域，其中data域存儲頂點的值，FirstIn域指向以當前頂點為弧頭的第

一條弧和FirstOut域指向以當前頂點為弧尾的第一條弧。
弧結點包含TailVertex域、HeadVertex域、HeadLink域、TailLink域和info域，其中TailVertex域存儲當前弧的弧尾在數組中的下標，HeadVertex域存儲當前弧的弧頭在數組中的下標，HeadLink域指向與當前弧有相同弧頭的下一條弧，TailLink域指向與當前弧有相同弧尾的下一條弧，info域存儲當前弧的其他信息。

頂點結點定義如下：

class VertexOrthogonalList(object):
    """
    有向圖的一個頂點
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 以該頂點為弧頭的第一條弧FirstIn
        self.FirstIn= None
        # 以該頂點為弧尾的第一條弧FirstOut
        self.FirstOut= None

弧結點定義如下：

class ArcOrthogonalList(object):
    """
    有向圖的一條弧
    """
    def __init__(self):
        # 當前弧中弧頭在數組中的下標HeadVertex
        self.HeadVertex = None
        # 當前弧中弧尾在數組中的下標TailVertex
        self.TailVertex = None
        # 與當前弧有相同弧頭的下一條弧HeadLink
        self.HeadLink = None
        # 與當前弧有相同弧尾的下一條弧TailLink
        self.TailLink = None
        self.info = None

十字鏈表表示的有向圖定義如下：

class GraphOrthogonalList(object):
    """
    有向圖的十字鏈表
    """
    def __init__(self):
        # 十字鏈表
        self.vertices = []
        # 當前頂點數
        self.vexnum = 0
        # 當前邊(弧)數
        self.arcnum = 0

有向圖及其十字鏈表：

4.4 鄰接多重表

用于無向圖

在使用鄰接表存儲無向圖時，圖的每一條邊都對應兩個結點，由于這兩個結點屬于兩個不同的鄰接表，所以在進行刪除操作時需要對鄰接表的兩條單鏈表進行操作，比較麻煩，所有引出了鄰接多重表。鄰接多重表同樣分為兩個部分，即頂點結點和邊結點，通常將頂點結點存儲在數組中，邊結點存儲在單鏈表中。

頂點結點包含data域和FirstEdge域，其中data域存儲頂點的值，FirstEdge域指向與當前頂點相關聯的第一條邊。

邊結點包含mark域、VertexOne域、NextEdgeOne域、VertexTwo域、NextEdgeTwo域和info域，其中mark域用于標記當前是否被訪問，VertexOne域和VertexTwo域分別存儲當前邊的兩個頂點在數組中的下標，NextEdgeOne域指向與VertexOne域對應的頂點相關聯的下一條邊，NextEdgeTwo域指向與VertexTwo域對應的頂點相關聯的下一條邊，info域存儲當前邊的其他信息。

頂點結點定義如下：

class VertexAdjacencyMultitable(object):
    """
    無向圖的一個頂點
    """
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        # 與該頂點相連的第一條邊FirstEdge
        self.FirstEdge = None

邊結點定義如下：

class Edge(object):
    """
    無向圖的鄰接多重表
    """
    def __init__(self):
        # 用來標記當前邊是否已被訪問過
        self.mark = None
        # 該邊的兩個頂點在數組中的下標
        self.VertexOne = None
        self.VertexTwo = None
        # 與VertexOne對應的頂點相連的下一條邊NextEdgeOne
        self.NextEdgeOne = None
        # 與VertexTwo對應的頂點相連的下一條邊NextEdgeTwo
        self.NextEdgeTwo = None
        self.info = None

多重鄰接表表示的圖定義如下：

class GraphAdjacencyMultitable(object):
    """
    無向圖的鄰接多重表
    """
    def __init__(self):
        self.vertices = []
        self.vertexnum = 0
        self.edgenum = 0

無向圖及其鄰接多重鏈表：

到此這篇關于P-ython數據結構之圖的存儲結構詳解的文章就介紹到這了,更多相關P-ython圖的存儲結構內容請搜索服務器之家以前的文章或繼續瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持服務器之家！

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