結構
B-tree索引適合用于存儲排序的數據。對于這種數據類型需要定義大于、大于等于、小于、小于等于操作符。
通常情況下，B-tree的索引記錄存儲在數據頁中。葉子頁中的記錄包含索引數據（keys）以及指向heap tuple記錄（即表的行記錄TIDs）的指針。內部頁中的記錄包含指向索引子頁的指針和子頁中最小值。
B-tree有幾點重要的特性：
1、B-tree是平衡樹，即每個葉子頁到root頁中間有相同個數的內部頁。因此查詢任何一個值的時間是相同的。
2、B-tree中一個節點有多個分支，即每頁（通常8KB）具有許多TIDs。因此B-tree的高度比較低，通常4到5層就可以存儲大量行記錄。
3、索引中的數據以非遞減的順序存儲（頁之間以及頁內都是這種順序），同級的數據頁由雙向鏈表連接。因此不需要每次都返回root，通過遍歷鏈表就可以獲取一個有序的數據集。
下面是一個索引的簡單例子，該索引存儲的記錄為整型并只有一個字段：
該索引最頂層的頁是元數據頁，該數據頁存儲索引root頁的相關信息。內部節點位于root下面，葉子頁位于最下面一層。向下的箭頭表示由葉子節點指向表記錄（TIDs）。
等值查詢
例如通過"indexed-field = expression"形式的條件查詢49這個值。
root節點有三個記錄：(4,32,64)。從root節點開始進行搜索，由于32≤ 49 < 64，所以選擇32這個值進入其子節點。通過同樣的方法繼續向下進行搜索一直到葉子節點，最后查詢到49這個值。
實際上，查詢算法遠不止看上去的這么簡單。比如，該索引是非唯一索引時，允許存在許多相同值的記錄，并且這些相同的記錄不止存放在一個頁中。此時該如何查詢？我們返回到上面的的例子，定位到第二層節點(32,43,49)。如果選擇49這個值并向下進入其子節點搜索，就會跳過前一個葉子頁中的49這個值。因此，在內部節點進行等值查詢49時，定位到49這個值，然后選擇49的前一個值43，向下進入其子節點進行搜索。最后，在底層節點中從左到右進行搜索。
(另外一個復雜的地方是，查詢的過程中樹結構可能會改變，比如分裂)
非等值查詢
通過"indexed-field ≤ expression" (or "indexed-field ≥ expression")查詢時，首先通過"indexed-field = expression"形式進行等值（如果存在該值）查詢，定位到葉子節點后，再向左或向右進行遍歷檢索。
下圖是查詢 n ≤ 35的示意圖：
大于和小于可以通過同樣的方法進行查詢。查詢時需要排除等值查詢出的值。
范圍查詢
范圍查詢"expression1 ≤ indexed-field ≤ expression2"時，需要通過 "expression1 ≤ indexed-field =expression2"找到一匹配值，然后在葉子節點從左到右進行檢索，一直到不滿足"indexed-field ≤ expression2" 的條件為止；或者反過來，首先通過第二個表達式進行檢索，在葉子節點定位到該值后，再從右向左進行檢索，一直到不滿足第一個表達式的條件為止。
下圖是23 ≤ n ≤ 64的查詢示意圖:
案例
下面是一個查詢計劃的實例。通過demo database中的aircraft表進行介紹。該表有9行數據，由于整個表只有一個數據頁，所以執行計劃不會使用索引。為了解釋說明問題，我們使用整個表進行說明。
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demo=# select * from aircrafts; aircraft_code | model | range---------------+---------------------+------- 773 | Boeing 777-300 | 11100 763 | Boeing 767-300 | 7900 SU9 | Sukhoi SuperJet-100 | 3000 320 | Airbus A320-200 | 5700 321 | Airbus A321-200 | 5600 319 | Airbus A319-100 | 6700 733 | Boeing 737-300 | 4200 CN1 | Cessna 208 Caravan | 1200 CR2 | Bombardier CRJ-200 | 2700(9 rows)demo=# create index on aircrafts(range);demo=# set enable_seqscan = off; |
（更準確的方式：create index on aircrafts using btree(range)，創建索引時默認構建B-tree索引。）
等值查詢的執行計劃：
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demo=# explain(costs off) select * from aircrafts where range = 3000; QUERY PLAN --------------------------------------------------- Index Scan using aircrafts_range_idx on aircrafts Index Cond: (range = 3000)(2 rows) |
非等值查詢的執行計劃：
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demo=# explain(costs off) select * from aircrafts where range < 3000; QUERY PLAN --------------------------------------------------- Index Scan using aircrafts_range_idx on aircrafts Index Cond: (range < 3000)(2 rows) |
范圍查詢的執行計劃：
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demo=# explain(costs off) select * from aircraftswhere range between 3000 and 5000; QUERY PLAN ----------------------------------------------------- Index Scan using aircrafts_range_idx on aircrafts Index Cond: ((range >= 3000) AND (range <= 5000))(2 rows) |
排序
再次強調，通過index、index-only或bitmap掃描，btree訪問方法可以返回有序的數據。因此如果表的排序條件上有索引，優化器會考慮以下方式：表的索引掃描；表的順序掃描然后對結果集進行排序。
排序順序
當創建索引時可以明確指定排序順序。如下所示，在range列上建立一個索引，并且排序順序為降序：
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demo=# create index on aircrafts(range desc); |
本案例中，大值會出現在樹的左邊，小值出現在右邊。為什么有這樣的需求？這樣做是為了多列索引。創建aircraft的一個視圖，通過range分成3部分：
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demo=# create view aircrafts_v asselect model, case when range < 4000 then 1 when range < 10000 then 2 else 3 end as classfrom aircrafts; demo=# select * from aircrafts_v; model | class---------------------+------- Boeing 777-300 | 3 Boeing 767-300 | 2 Sukhoi SuperJet-100 | 1 Airbus A320-200 | 2 Airbus A321-200 | 2 Airbus A319-100 | 2 Boeing 737-300 | 2 Cessna 208 Caravan | 1 Bombardier CRJ-200 | 1(9 rows) |
然后創建一個索引（使用下面表達式）：
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demo=# create index on aircrafts( (case when range < 4000 then 1 when range < 10000 then 2 else 3 end), model); |
現在，可以通過索引以升序的方式獲取排序的數據：
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demo=# select class, model from aircrafts_v order by class, model; class | model -------+--------------------- 1 | Bombardier CRJ-200 1 | Cessna 208 Caravan 1 | Sukhoi SuperJet-100 2 | Airbus A319-100 2 | Airbus A320-200 2 | Airbus A321-200 2 | Boeing 737-300 2 | Boeing 767-300 3 | Boeing 777-300(9 rows) demo=# explain(costs off)select class, model from aircrafts_v order by class, model; QUERY PLAN -------------------------------------------------------- Index Scan using aircrafts_case_model_idx on aircrafts(1 row) |
同樣，可以以降序的方式獲取排序的數據：
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demo=# select class, model from aircrafts_v order by class desc, model desc; class | model -------+--------------------- 3 | Boeing 777-300 2 | Boeing 767-300 2 | Boeing 737-300 2 | Airbus A321-200 2 | Airbus A320-200 2 | Airbus A319-100 1 | Sukhoi SuperJet-100 1 | Cessna 208 Caravan 1 | Bombardier CRJ-200(9 rows)demo=# explain(costs off)select class, model from aircrafts_v order by class desc, model desc; QUERY PLAN ----------------------------------------------------------------- Index Scan BACKWARD using aircrafts_case_model_idx on aircrafts(1 row) |
然而，如果一列以升序一列以降序的方式獲取排序的數據的話，就不能使用索引，只能單獨排序：
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demo=# explain(costs off)select class, model from aircrafts_v order by class ASC, model DESC; QUERY PLAN ------------------------------------------------- Sort Sort Key: (CASE ... END), aircrafts.model DESC -> Seq Scan on aircrafts(3 rows) |
（注意，最終執行計劃會選擇順序掃描，忽略之前設置的enable_seqscan = off。因為這個設置并不會放棄表掃描，只是設置他的成本----查看costs on的執行計劃）
若有使用索引，創建索引時指定排序的方向：
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demo=# create index aircrafts_case_asc_model_desc_idx on aircrafts( (case when range < 4000 then 1 when range < 10000 then 2 else 3 end) ASC, model DESC); demo=# explain(costs off)select class, model from aircrafts_v order by class ASC, model DESC; QUERY PLAN ----------------------------------------------------------------- Index Scan using aircrafts_case_asc_model_desc_idx on aircrafts(1 row) |
列的順序
當使用多列索引時與列的順序有關的問題會顯示出來。對于B-tree，這個順序非常重要：頁中的數據先以第一個字段進行排序，然后再第二個字段，以此類推。
下圖是在range和model列上構建的索引：
當然，上圖這么小的索引在一個root頁足以存放。但是為了清晰起見，特意將其分成幾頁。
從圖中可見，通過類似的謂詞class = 3（僅按第一個字段進行搜索）或者class = 3 and model = 'Boeing 777-300'（按兩個字段進行搜索）將非常高效。
然而，通過謂詞model = 'Boeing 777-300'進行搜索的效率將大大降低：從root開始，判斷不出選擇哪個子節點進行向下搜索，因此會遍歷所有子節點向下進行搜索。這并不意味著永遠無法使用這樣的索引----它的效率有問題。例如，如果aircraft有3個classes值，每個class類中有許多model值，此時不得不掃描索引1/3的數據，這可能比全表掃描更有效。
但是，當創建如下索引時：
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demo=# create index on aircrafts( model, (case when range < 4000 then 1 when range < 10000 then 2 else 3 end)); |
索引字段的順序會改變：
通過這個索引，model = 'Boeing 777-300'將會很有效，但class = 3則沒這么高效。
NULLs
PostgreSQL的B-tree支持在NULLs上創建索引，可以通過IS NULL或者IS NOT NULL的條件進行查詢。
考慮flights表，允許NULLs：
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demo=# create index on flights(actual_arrival);demo=# explain(costs off) select * from flights where actual_arrival is null; QUERY PLAN ------------------------------------------------------- Bitmap Heap Scan on flights Recheck Cond: (actual_arrival IS NULL) -> Bitmap Index Scan on flights_actual_arrival_idx Index Cond: (actual_arrival IS NULL)(4 rows) |
NULLs位于葉子節點的一端或另一端，這依賴于索引的創建方式（NULLS FIRST或NULLS LAST）。如果查詢中包含排序，這就顯得很重要了：如果SELECT語句在ORDER BY子句中指定NULLs的順序索引構建的順序一樣（NULLS FIRST或NULLS LAST），就可以使用整個索引。
下面的例子中，他們的順序相同，因此可以使用索引：
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demo=# explain(costs off)select * from flights order by actual_arrival NULLS LAST; QUERY PLAN -------------------------------------------------------- Index Scan using flights_actual_arrival_idx on flights(1 row) |
下面的例子，順序不同，優化器選擇順序掃描然后進行排序：
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demo=# explain(costs off)select * from flights order by actual_arrival NULLS FIRST; QUERY PLAN ---------------------------------------- Sort Sort Key: actual_arrival NULLS FIRST -> Seq Scan on flights(3 rows) |
NULLs必須位于開頭才能使用索引：
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demo=# create index flights_nulls_first_idx on flights(actual_arrival NULLS FIRST);demo=# explain(costs off)select * from flights order by actual_arrival NULLS FIRST; QUERY PLAN ----------------------------------------------------- Index Scan using flights_nulls_first_idx on flights(1 row) |
像這樣的問題是由NULLs引起的而不是無法排序，也就是說NULL和其他這比較的結果無法預知：
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demo=# \pset null NULLdemo=# select null < 42; ?column?---------- NULL(1 row) |
這和B-tree的概念背道而馳并且不符合一般的模式。然而NULLs在數據庫中扮演者很重要的角色，因此不得不為NULL做特殊設置。
由于NULLs可以被索引，因此即使表上沒有任何標記也可以使用索引。（因為這個索引包含表航記錄的所有信息）。如果查詢需要排序的數據，而且索引確保了所需的順序，那么這可能是由意義的。這種情況下，查詢計劃更傾向于通過索引獲取數據。
屬性
下面介紹btree訪問方法的特性。
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amname | name | pg_indexam_has_property--------+---------------+------------------------- btree | can_order | t btree | can_unique | t btree | can_multi_col | t btree | can_exclude | t |
可以看到，B-tree能夠排序數據并且支持唯一性。同時還支持多列索引，但是其他訪問方法也支持這種索引。我們將在下次討論EXCLUDE條件。
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name | pg_index_has_property---------------+----------------------- clusterable | t index_scan | t bitmap_scan | t backward_scan | t |
Btree訪問方法可以通過以下兩種方式獲取數據：index scan以及bitmap scan?？梢钥吹剑ㄟ^tree可以向前和向后進行遍歷。
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name | pg_index_column_has_property--------------------+------------------------------ asc | t desc | f nulls_first | f nulls_last | t orderable | t distance_orderable | f returnable | t search_array | t search_nulls | t |
前四種特性指定了特定列如何精確的排序。本案例中，值以升序（asc）進行排序并且NULLs在后面（nulls_last）。也可以有其他組合。
search_array的特性支持向這樣的表達式：
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demo=# explain(costs off)select * from aircrafts where aircraft_code in ('733','763','773'); QUERY PLAN ----------------------------------------------------------------- Index Scan using aircrafts_pkey on aircrafts Index Cond: (aircraft_code = ANY ('{733,763,773}'::bpchar[]))(2 rows) |
returnable屬性支持index-only scan，由于索引本身也存儲索引值所以這是合理的。下面簡單介紹基于B-tree的覆蓋索引。
具有額外列的唯一索引
前面討論了：覆蓋索引包含查詢所需的所有值，需不要再回表。唯一索引可以成為覆蓋索引。
假設我們查詢所需要的列添加到唯一索引，新的組合唯一鍵可能不再唯一，同一列上將需要2個索引：一個唯一，支持完整性約束；另一個是非唯一，為了覆蓋索引。這當然是低效的。
在我們公司 Anastasiya Lubennikova @ lubennikovaav 改進了btree，額外的非唯一列可以包含在唯一索引中。我們希望這個補丁可以被社區采納。實際上PostgreSQL11已經合了該補丁。
考慮表bookings：d
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demo=# \d bookings Table "bookings.bookings" Column | Type | Modifiers--------------+--------------------------+----------- book_ref | character(6) | not null book_date | timestamp with time zone | not null total_amount | numeric(10,2) | not nullIndexes: "bookings_pkey" PRIMARY KEY, btree (book_ref)Referenced by:TABLE "tickets" CONSTRAINT "tickets_book_ref_fkey" FOREIGN KEY (book_ref) REFERENCES bookings(book_ref) |
這個表中，主鍵（book_ref,booking code）通過常規的btree索引提供，下面創建一個由額外列的唯一索引：
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demo=# create unique index bookings_pkey2 on bookings(book_ref) INCLUDE (book_date); |
然后使用新索引替代現有索引：
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demo=# begin;demo=# alter table bookings drop constraint bookings_pkey cascade;demo=# alter table bookings add primary key using index bookings_pkey2;demo=# alter table tickets add foreign key (book_ref) references bookings (book_ref);demo=# commit; |
然后表結構：
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demo=# \d bookings Table "bookings.bookings" Column | Type | Modifiers--------------+--------------------------+----------- book_ref | character(6) | not null book_date | timestamp with time zone | not null total_amount | numeric(10,2) | not nullIndexes: "bookings_pkey2" PRIMARY KEY, btree (book_ref) INCLUDE (book_date)Referenced by:TABLE "tickets" CONSTRAINT "tickets_book_ref_fkey" FOREIGN KEY (book_ref) REFERENCES bookings(book_ref) |
此時，這個索引可以作為唯一索引工作也可以作為覆蓋索引：
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demo=# explain(costs off)select book_ref, book_date from bookings where book_ref = '059FC4'; QUERY PLAN -------------------------------------------------- Index Only Scan using bookings_pkey2 on bookings Index Cond: (book_ref = '059FC4'::bpchar)(2 rows) |
創建索引
眾所周知，對于大表，加載數據時最好不要帶索引；加載完成后再創建索引。這樣做不僅提升效率還能節省空間。
創建B-tree索引比向索引中插入數據更高效。所有的數據大致上都已排序，并且數據的葉子頁已創建好，然后只需構建內部頁直到root頁構建成一個完整的B-tree。
這種方法的速度依賴于RAM的大小，受限于參數maintenance_work_mem。因此增大該參數值可以提升速度。對于唯一索引，除了分配maintenance_work_mem的內存外，還分配了work_mem的大小的內存。
比較
前面，提到PG需要知道對于不同類型的值調用哪個函數，并且這個關聯方法存儲在哈希訪問方法中。同樣，系統必須找出如何排序。這在排序、分組（有時）、merge join中會涉及。PG不會將自身綁定到操作符名稱，因為用戶可以自定義他們的數據類型并給出對應不同的操作符名稱。
例如bool_ops操作符集中的比較操作符：
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postgres=# select amop.amopopr::regoperator as opfamily_operator, amop.amopstrategyfrom pg_am am, pg_opfamily opf, pg_amop amopwhere opf.opfmethod = am.oidand amop.amopfamily = opf.oidand am.amname = 'btree'and opf.opfname = 'bool_ops'order by amopstrategy; opfamily_operator | amopstrategy---------------------+-------------- <(boolean,boolean) | 1 <=(boolean,boolean) | 2 =(boolean,boolean) | 3 >=(boolean,boolean) | 4 >(boolean,boolean) | 5(5 rows) |
這里可以看到有5種操作符，但是不應該依賴于他們的名字。為了指定哪種操作符做什么操作，引入策略的概念。為了描述操作符語義，定義了5種策略：
1 — less
2 — less or equal
3 — equal
4 — greater or equal
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postgres=# select amop.amopopr::regoperator as opfamily_operatorfrom pg_am am, pg_opfamily opf, pg_amop amopwhere opf.opfmethod = am.oidand amop.amopfamily = opf.oidand am.amname = 'btree'and opf.opfname = 'integer_ops'and amop.amopstrategy = 1order by opfamily_operator; pfamily_operator ---------------------- <(integer,bigint) <(smallint,smallint) <(integer,integer) <(bigint,bigint) <(bigint,integer) <(smallint,integer) <(integer,smallint) <(smallint,bigint) <(bigint,smallint)(9 rows) |
一些操作符族可以包含幾種操作符，例如integer_ops包含策略1的幾種操作符：
正因如此，當比較類型在一個操作符族中時，不同類型值的比較，優化器可以避免類型轉換。
索引支持的新數據類型
文檔中提供了一個創建符合數值的新數據類型，以及對這種類型數據進行排序的操作符類。該案例使用C語言完成。但不妨礙我們使用純SQL進行對比試驗。
創建一個新的組合類型：包含real和imaginary兩個字段
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postgres=# create type complex as (re float, im float); |
創建一個包含該新組合類型字段的表：
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postgres=# create table numbers(x complex);postgres=# insert into numbers values ((0.0, 10.0)), ((1.0, 3.0)), ((1.0, 1.0)); |
現在有個疑問，如果在數學上沒有為他們定義順序關系，如何進行排序？
已經定義好了比較運算符：
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postgres=# select * from numbers order by x; x -------- (0,10) (1,1) (1,3)(3 rows) |
默認情況下，對于組合類型排序是分開的：首先比較第一個字段然后第二個字段，與文本字符串比較方法大致相同。但是我們也可以定義其他的排序方式，例如組合數字可以當做一個向量，通過模值進行排序。為了定義這樣的順序，我們需要創建一個函數：
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postgres=# create function modulus(a complex) returns float as $$ select sqrt(a.re*a.re + a.im*a.im);$$ immutable language sql; //此時，使用整個函數系統的定義5種操作符：postgres=# create function complex_lt(a complex, b complex) returns boolean as $$ select modulus(a) < modulus(b);$$ immutable language sql; postgres=# create function complex_le(a complex, b complex) returns boolean as $$ select modulus(a) <= modulus(b);$$ immutable language sql; postgres=# create function complex_eq(a complex, b complex) returns boolean as $$ select modulus(a) = modulus(b);$$ immutable language sql; postgres=# create function complex_ge(a complex, b complex) returns boolean as $$ select modulus(a) >= modulus(b);$$ immutable language sql; postgres=# create function complex_gt(a complex, b complex) returns boolean as $$ select modulus(a) > modulus(b);$$ immutable language sql; |
然后創建對應的操作符：
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postgres=# create operator #<#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_lt);postgres=# create operator #<=#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_le);postgres=# create operator #=#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_eq);postgres=# create operator #>=#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_ge);postgres=# create operator #>#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_gt); |
此時，可以比較數字：
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postgres=# select (1.0,1.0)::complex #<# (1.0,3.0)::complex; ?column?---------- t(1 row) |
除了整個5個操作符，還需要定義函數：小于返回-1；等于返回0；大于返回1。其他訪問方法可能需要定義其他函數：
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postgres=# create function complex_cmp(a complex, b complex) returns integer as $$ select case when modulus(a) < modulus(b) then -1 when modulus(a) > modulus(b) then 1 else 0 end;$$ language sql; |
創建一個操作符類：
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postgres=# create operator class complex_opsdefault for type complexusing btree as operator 1 #<#, operator 2 #<=#, operator 3 #=#, operator 4 #>=#, operator 5 #>#,function 1 complex_cmp(complex,complex); //排序結果：postgres=# select * from numbers order by x; x -------- (1,1) (1,3) (0,10)(3 rows) //可以使用此查詢獲取支持的函數： postgres=# select amp.amprocnum, amp.amproc, amp.amproclefttype::regtype, amp.amprocrighttype::regtypefrom pg_opfamily opf, pg_am am, pg_amproc ampwhere opf.opfname = 'complex_ops'and opf.opfmethod = am.oidand am.amname = 'btree'and amp.amprocfamily = opf.oid; amprocnum | amproc | amproclefttype | amprocrighttype-----------+-------------+----------------+----------------- 1 | complex_cmp | complex | complex(1 row) |
內部結構
使用pageinspect插件觀察B-tree結構：
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demo=# create extension pageinspect; |
索引的元數據頁：
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demo=# select * from bt_metap('ticket_flights_pkey'); magic | version | root | level | fastroot | fastlevel--------+---------+------+-------+----------+----------- 340322 | 2 | 164 | 2 | 164 | 2(1 row) |
值得關注的是索引level：不包括root，有一百萬行記錄的表其索引只需要2層就可以了。
Root頁，即164號頁面的統計信息：
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demo=# select type, live_items, dead_items, avg_item_size, page_size, free_sizefrom bt_page_stats('ticket_flights_pkey',164); type | live_items | dead_items | avg_item_size | page_size | free_size------+------------+------------+---------------+-----------+----------- r | 33 | 0 | 31 | 8192 | 6984(1 row) |
該頁中數據：
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demo=# select itemoffset, ctid, itemlen, left(data,56) as datafrom bt_page_items('ticket_flights_pkey',164) limit 5; itemoffset | ctid | itemlen | data ------------+---------+---------+---------------------------------------------------------- 1 | (3,1) | 8 | 2 | (163,1) | 32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 33 30 35 37 37 31 00 00 ff 5f 00 3 | (323,1) | 32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 34 32 33 36 36 32 00 00 4f 78 00 4 | (482,1) | 32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 35 33 30 38 39 33 00 00 4d 1e 00 5 | (641,1) | 32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 36 35 35 37 38 35 00 00 2b 09 00(5 rows) |
第一個tuple指定該頁的最大值，真正的數據從第二個tuple開始。很明顯最左邊子節點的頁號是163，然后是323。反過來，可以使用相同的函數搜索。
PG10版本提供了"amcheck"插件，該插件可以檢測B-tree數據的邏輯一致性，使我們提前探知故障。
以上為個人經驗，希望能給大家一個參考，也希望大家多多支持服務器之家。如有錯誤或未考慮完全的地方，望不吝賜教。
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