所謂的“天文算法”，就是利用經典力學定律推導行星運轉軌道，對任意時刻的行星位置進行精確計算，從而獲得某種天文現象發生時的時間，比如日月合朔這一天文現象就是太陽和月亮的地心黃經（視黃經）差為0的那一瞬間。能夠計算任意時刻行星位置的一套理論就被稱為星歷表，比較著名的星歷表有美國國家航空航天局下屬的噴氣推進實驗室發布的DE系列星歷表，還有瑞士天文臺在DE406基礎上拓展的瑞士星歷表等等。根據行星運行軌道直接計算行星位置通常不是很方便，更何況大多數民用天文計算用不上那么多精確的軌道參數，于是天文學家在這些星歷表的基礎上推導出了很多可以做簡便計算，但是又能保證一定精度的行星運行理論，比較著名的有VSOP82/87太陽系行星運行理論和ELP-2000/82月球運行理論，這兩套理論在精度上已經很接近DE系列星歷表了。關于如何應用這兩套倫理進行天文歷法計算，請參考“日歷生成算法”系列文章的第三篇《用天文方法計算二十四節氣》和第四篇《用天文方法計算日月合朔》，本文介紹的農歷年歷推算是在已經通過天文算法獲得了精確的節氣時間和日月合朔時間的基礎上進行的。
中國的官方紀時采用的是中國公歷（格里歷），因此農歷年歷的推導應以公歷年的周期為主導，附上農歷年的信息，也就是說，年歷以公歷的1月1日為起始，至12月31日結束，根據農歷歷法推導出的農歷日期信息，附加在公歷日期信息上形成雙歷。通常情況下，一個公歷年周期都不能完整地對應到一個農歷年周期上，二者的偏差也不固定，因此不存在穩定的對應關系，也就是說，不存在從公歷的日期到農歷日期的轉換公式，只能根據農歷的歷法規則推導出農歷日期與公歷日期的對應關系。由農歷歷法規則可知，上一個公歷年的冬至（）所在的朔望月是上一個農歷年的十一月（冬月），所以在進行節氣計算時，需要計算包括上一年冬至節氣在內的二十五個節氣，才能對應上上一個農歷年的十一月和當前農歷年的十一月。在計算與之對應的朔日時，考慮到有閏月的情況，需要從上一年冬至節氣前的第一個朔日，連續計算15個朔日才能保證覆蓋兩個冬至之間的一整年時間，圖（1）顯示了2011年沒有閏月的情況下朔日和冬至的關系：
圖（1）沒有閏月情況下朔日與冬至節氣關系圖
圖中上排數字是公歷月的編號，黑色圓點代表朔日，黑色三角形代表冬至節氣。圖（2）顯示了2012年有閏月的情況下朔日和冬至的關系：
圖（2）有閏月情況下朔日與冬至節氣關系圖
通過計算得到能夠覆蓋兩個冬至節氣的所有朔日時間后，就可以著手建立公歷日期與農歷日期的對應關系。以圖（1）所示的2011年為例，首先根據計算得到的15個朔日（2011年只會用到其中的前14個時間）時間，建立與2011年（公歷年）有關的朔望月關系表：
表（2）2011年朔望月與公歷日期關系表
編號為1和2的兩個朔日之間的朔望月是十一月，因為冬至節氣落在這個朔望月，其它月的月名依次類推，正月的朔日就是春節。輸出公歷和農歷雙歷時，以月（公歷）為單位，從每月第一天開始，依次判斷每一天屬于哪個朔望月，確定這一天的農歷月名，然后比較這一天和這個朔望月的朔日之間相差幾天，記為農歷日期。以2011年1月1日為例，這一天在2010年12月6日（2010年農歷十一月的朔日）和2011年1月4日之間（2010年農歷十二月的朔日），查表（1）可知對應的農歷月是十一月，這一天和2010年12月6日相差26天，因此這一天的農歷日期就是“廿七”。再以2011年2月3日（春節）這一天為例，查朔望月表得知2月3日屬于從2月3日開始的朔望月，這個朔望月的月名是正月，而2月3日就是月首，農歷日期是初一，正月初一就是春節。
先來介紹兩個函數，這兩個函數分別用于計算節氣和日月合朔發生的時間，函數算法的具體描述將在“日歷生成算法”系列文章的第三篇《用天文方法計算二十四節氣》和第四篇《用天文方法計算日月合朔》中介紹，此處只是簡單介紹一下用法。首先是計算節氣時間的函數：
5 double CalculateSolarTerms(int year, int angle);
這個函數用于計算指定的年份（year參數）中，太陽在黃道上運行（視運動）到指定角度時的時間，angle可以設定節氣發生時的角度，比如CalculateSolarTerms(2011, 270)就是計算2011年冬至的時間。這個函數返回的時間類型是儒略日，關于儒略日的說明請參考“日歷生成算法”系列文章的第一篇《中國公歷（格里歷）》。
接下來介紹計算日月合朔時間的函數：
8 double CalculateMoonShuoJD(double tdJD);
這個函數返回指定時間附近的朔日時間，搜索的范圍是tdJD參數指定時間的前一天到后29.5305天，tdJD參數和返回值的時間類型都是儒略日。
生成指定公歷年份的公歷和農歷的雙歷年歷的流程如下：
圖（3）計算公農歷雙歷年歷的流程
GetAllSolarTermsJD()函數從指定年份的指定節氣開始，連續計算25個節氣時間，時間可以跨年份，內部判斷過冬至節氣后自動轉到下一年的節氣繼續計算：
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void CChineseCalendar::GetAllSolarTermsJD(int year, int start, double *SolarTerms) { int i = 0; int st = start; while(i < 25) { double jd = CalculateSolarTerms(year, st * 15); if(st == WINTER_SOLSTICE) { year++; } st = (st + 1) % SOLAR_TERMS_COUNT; } } |
start參數是節氣的索引，定義二十四節氣的索引如下：
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const int VERNAL_EQUINOX = 0; // 春分const int CLEAR_AND_BRIGHT = 1; // 清明const int GRAIN_RAIN = 2; // 谷雨const int SUMMER_BEGINS = 3; // 立夏const int GRAIN_BUDS = 4; // 小滿const int GRAIN_IN_EAR = 5; // 芒種const int SUMMER_SOLSTICE = 6; // 夏至const int SLIGHT_HEAT = 7; // 小暑const int GREAT_HEAT = 8; // 大暑const int AUTUMN_BEGINS = 9; // 立秋const int STOPPING_THE_HEAT = 10; // 處暑const int WHITE_DEWS = 11; // 白露const int AUTUMN_EQUINOX = 12; // 秋分const int COLD_DEWS = 13; // 寒露const int HOAR_FROST_FALLS = 14; // 霜降const int WINTER_BEGINS = 15; // 立冬const int LIGHT_SNOW = 16; // 小雪const int HEAVY_SNOW = 17; // 大雪const int WINTER_SOLSTICE = 18; // 冬至const int SLIGHT_COLD = 19; // 小寒const int GREAT_COLD = 20; // 大寒const int SPRING_BEGINS = 21; // 立春const int THE_RAINS = 22; // 雨水const int INSECTS_AWAKEN = 23; // 驚蟄 |
節氣索引乘以15就是節氣在黃道上對應的度數。GetNewMoonJDs()函數從指定時間開始連續計算15個朔日時間，從第一個冬至節氣前的第一個朔日開始。15個朔日可以形成14個完整的朔望月，保證在有閏月的情況下也能包含兩個冬至節氣：
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void CChineseCalendar::GetNewMoonJDs(double jd, double *NewMoon) { for(int i = 0; i < NEW_MOON_CALC_COUNT; i++) { double shuoJD = CalculateMoonShuoJD(jd); NewMoon[i] = shuoJD; jd += 29.5; /*轉到下一個最接近朔日的時間*/ }} |
BuildAllChnMonthInfo()函數根據15個朔日時間組成14個朔望月，根據相鄰朔日的間隔計算出農歷月天數用來判定大小月，并且從“十一月”開始依次為每個朔望月命名（月建名稱）：
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bool CChineseCalendar::BuildAllChnMonthInfo() { CHN_MONTH_INFO info; //一年最多可13個農歷月 int i; int yuejian = 11; //采用夏歷建寅，冬至所在月份為農歷11月 for(i = 0; i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1); i++) { info.mmonth = i; info.mname = (yuejian <= 12) ? yuejian : yuejian - 12; info.shuoJD = m_NewMoonJD[i]; info.nextJD = m_NewMoonJD[i + 1]; info.mdays = int(info.nextJD + 0.5) - int(info.shuoJD + 0.5); info.leap = 0; CChnMonthInfo cm(&info); m_ChnMonthInfo.push_back(cm); yuejian++; } return (m_ChnMonthInfo.size() == (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1)); } |
CalcLeapChnMonth()函數根據節氣和朔日時間判斷在兩個冬至節氣之間的農歷年是否有閏月，判斷的依據就是看第十四個朔日是否在第二個冬至節氣之前，如果第十四個朔日發生在第二個冬至節氣之前，就說明在兩個冬至節氣之間發生了十三次朔日，需要置閏月。因為農歷中十二個中氣屬于哪個農歷月是固定的，因此置閏月的過程就是依次判斷十二個中氣是否在對應的農歷月中，如果本應該屬于某個農歷月的中氣卻沒有落在這個農歷月中，則這個農歷月就是閏月，需要設置閏月標志，同時調整這個月之后的月名。調整農歷月名的方法就是月名減一，比如原來是八月就要調整為七月，這樣就將十三個月對應上了十二個月名（其中多出來的一個農歷月被命名為閏某月）。如果節氣和朔日發生在同一天，CalcLeapChnMonth()函數采用的是民間歷法的規則，與現行歷法一致：
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void CChineseCalendar::CalcLeapChnMonth(){assert(m_ChnMonthInfo.size() > 0); /*陰歷月的初始化必須在這個之前*/int i;if(int(m_NewMoonJD[13] + 0.5) <= int(m_SolarTermsJD[24] + 0.5)) //第13月的月末沒有超過冬至，說明今年需要閏一個月{//找到第一個沒有中氣的月i = 1;while(i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1)){/*m_NewMoonJD[i + 1]是第i農歷月的下一個月的月首，本該屬于第i月的中氣如果比下一個月的月首還晚，或者與下個月的月首是同一天（民間歷法），則說明第i月沒有中氣*/if(int(m_NewMoonJD[i + 1] + 0.5) <= int(m_SolarTermsJD[2 * i] + 0.5)) break;i++;}if(i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1)) /*找到閏月，對后面的農歷月調整月名*/{m_ChnMonthInfo[i].SetLeapMonth(true);while(i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1)){m_ChnMonthInfo[i++].ReIndexMonthName();}}}} |
從理論上講，本文介紹的算法在精度允許的范圍內可以計算前后幾千年的農歷年歷，但是對古代的農歷計算需要小心。首先是“平朔”和“定朔”的問題，唐代以前使用的是平朔方法定月首，本文介紹的計算方法采用的是“定朔”方法，因此計算出的年歷與唐代以前的歷史會不一致。另外，即是在唐代以后采用“定朔”的歷法，因為古代天文觀測和計算受條件限制，可能不夠精確，因此與現在用天文算法計算出的結果可能并不一致。所以對歷史農歷的計算應該以歷史事實為主，天文計算為輔，當計算與歷史不一致時，要根據歷史數據進行校正。Calendar.exe是根據本文介紹的算法編寫的日歷小程序，沒有太多的功能，主要是為了驗證算法，因為沒有歷史數據用于修正結果，因此不支持1601年以前的農歷計算（也就是說按照天文算法計算出來的結果可能和實際歷史上的歷法不符）。
圖（5）演示程序的界面
小知識1：民間歷法和歷理歷法
新中國成立以后沒有頒布新的“官方農歷歷法”，將歷法和政治分離體現了時代的進步，但是由于沒有 “官方歷法”，也引起了一些問題。比如我國現在采用的農歷歷法是《時憲歷》，它源于清朝順治年間（公元1645）頒布的《順治歷》，它有兩個不足之處：一個是日月合朔和節氣的時間以北京當地時間為準，也就是東經116度25分的當地時間，其節氣和新月的觀察只適用于中原地區。其它經度的地方，因為時間的關系，對導致日月合朔和節氣時間的差異導致置閏和月順序各不相同。另一個不足之處就是日月合朔時間和節氣時間判斷不精確，如果日月合朔時間和節氣時間在同一天，不管具體的時間是否有先后，一律將此節氣算做新月中的節氣，這樣一來，如果這個節氣是中氣，就會影響到閏月的設置。歷理歷法針對這兩點進行了改進，對節氣時間和日月合朔時間統一采用東經120度即東八區標準時，這樣在任何時區的節氣和置閏結果都是一樣的，以東八區標準時為準。對于節氣時間和日月合朔時間在同一天的情況，精確計算到時、分、秒，只有日月合朔時間在節氣時間之前，這個節氣才包含在次月內。歷理歷法從理論上講更符合現代天文學的精確計算，但是需要注意的是，歷理歷法仍然只是存在于理論上的歷法，我國現行的農歷歷法依然是民間歷法《時憲歷》或《順治歷》。
小知識2：通式壽星公式
“通式壽星公式”是前人整理出來的一個用于計算每年立春日期的經驗公式:
Date = 向下取整(Y * D + C) - L
其中，Y是年份，D的值是0.2422，C是經驗值，取決于節氣和年份，對于21世紀，立春節氣的C值是4.475，春分節氣的C值是20.646等等；
L是閏年數，其計算公式為：
L = 向下取整(Y/4) - 向下取整(Y/100) + 向下取整(Y/400)
用“通式壽星公式”確定2011年立春日期的過程如下：
L = int(2011/4) – int(2011/100) + int(2011/400) = 502 – 20 + 5 = 487
Date = int（2011×0.2422+4.475）- 487 = 491 – 487 = 4
所以，2011年的立春日期是2月4日。
小知識3：計算節氣和朔日的經驗公式
以1900年1月0日（星期日）為基準日，之后的每一天與基準日的差值稱為“積日”， 1900年1月1日的積日是1，以后的時間依次類推，則計算第y年第x個節氣的積日公式是：
F = 365.242 * (y – 1900) + 6.2 + 15.22 *x - 1.9 * sin(0.262 * x)
其中x是節氣的索引，0代表小寒，1代表大寒，其它節氣按照順序類推。
計算從1900年開始第m個朔日的公式是：
M = 1.6 + 29.5306 * m + 0.4 * sin(1 - 0.45058 * m)
小知識4：平朔和定朔
中國農歷的朔望月長度是平均29.5305天，所以農歷月就有大月30天，小月29天之分，從先秦時期到唐代，農歷歷法均是采用大小月輪流交替的方式設置每個農歷月的天數，只有少數情況下才出現連續兩個大月的情況，采用這種方式的歷法就稱為“平朔”。“平朔”歷法簡單，但是不能保證日月合朔發生在初一這一天，有可能是上月的月末一天，也有可能是本月初二。南北朝時期，一種新的歷法被提出來，這種歷法嚴格按照日月合朔為月初制定農歷月，采用這種方式的歷法就稱為“定朔”。“定朔”歷法嚴格將日月合朔時間確定月初，因為月球公轉是橢圓軌道，速度并不是均勻，所以會發生連續多個大月或連續多個小月的情況，導致“定朔”歷法推廣遇到很大的阻力，直到唐代，中國歷法才全面棄用“平朔”，改用“定朔”。
小知識5：正月初一和立春節氣
立春是二十四節氣之首，所以古代民間都是在“立春”這一天過節，相當于現代的春節（中國古代即是節氣也是節日的情況很多，比如清明、冬至等等）。1911年，孫中山領導的辛亥革命建立了中華民國，在從歷法上正式把農歷正月初一定為“春節”，把公歷1月1日定為“元旦”，也就是“新年”。農歷年從正月初一開始沒有爭議，但是農歷生肖年從何時開始卻一直有爭議，目前多數人都認為“立春”節氣是農歷生肖年的開始。因為在中國古代歷法中，十二生肖的計算與天干地支有很大關系，所以在“論天干地支、計算廿四節氣”的情況下，“立春”節氣應該是新生肖的開始。對于普通老百姓來說，習慣于認為正月初一是生肖年的開始，因此，正月初一和“立春”節氣之間出生的小孩，在確定屬相的時候就有點麻煩了。屬龍還是屬蛇？這是個問題。
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